Gleichung-Lösen-Rechner
Löse eine lineare Gleichung nach x auf oder bestimme x und y in einem linearen 2×2-Gleichungssystem.
Eine lineare Gleichung ax + b = c löst man, indem man b abzieht und durch a teilt: x = (c − b)/a. Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten löst der Rechner mit der Cramer-Regel über die Determinanten der Koeffizienten.
So benutzt du den Gleichungs-Rechner
- Modus „ax + b = c“: trage a, b und c ein, um x zu bestimmen.
- Modus „2×2-System“: trage die Koeffizienten beider Gleichungen ein.
- Die Lösung erscheint sofort.
Wie die Berechnung funktioniert
Die lineare Gleichung wird durch Äquivalenzumformung gelöst: b auf die andere Seite bringen, dann durch a teilen. Beim Gleichungssystem a₁x + b₁y = c₁ und a₂x + b₂y = c₂ nutzt der Rechner die Cramer-Regel: x und y ergeben sich aus dem Verhältnis von Determinanten.
x = (c − b)/a · System: x = (c₁b₂ − c₂b₁)/D, y = (a₁c₂ − a₂c₁)/D, D = a₁b₂ − a₂b₁
Rechenbeispiel
Linear: 3x + 4 = 19 → x = (19 − 4)/3 = 5.
System: x + y = 10 und x − y = 2. Determinante D = 1·(−1) − 1·1 = −2, daraus x = 6 und y = 4.
Annahmen und Grenzen
- a (linear) bzw. die Determinante D (System) darf nicht null sein.
- Ist die Systemdeterminante null, hat das System keine eindeutige Lösung (keine oder unendlich viele).
- Der Rechner löst lineare Gleichungen; nichtlineare Terme sind nicht enthalten.
Einsatzgebiete des linear lösenden Rechners
Der Gleichungs-Löser findet die Lösung einer linearen Gleichung der Form ax + b = c. In der Schule prüfst du Aufgaben, in denen eine Unbekannte gesucht ist, etwa 3x + 4 = 19, was x = 5 ergibt. In der Physik löst du Gleichungen, wenn eine Größe aus einer Formel isoliert werden muss, etwa wenn die Geschwindigkeit aus Weg und Zeit bestimmt wird. In der Technik berechnest du Drehpunkte, Schwellenwerte oder Break-even-Grenzen, wenn Kosten und Erlös gleich sind. Im Haushalt hilft der Rechner beim Aufteilen von Beträgen, etwa wenn du den Einzelpreis aus dem Gesamtpreis und der Stückzahl suchst. Und in der Statistik bestimmst du den Mittelwert, wenn die Summe und die Anzahl bekannt sind – für eine ganze Liste reicht der Durchschnitt-Rechner. Im Modus für Gleichungssysteme suchst du zwei Unbekannte gleichzeitig, etwa wenn sich zwei Preisregeln über Kreuzschneiden. Der Rechner zeigt den Wert der gesuchten Variablen direkt an.
Mögliche Fehler und wie du sie behebst
- Symptom: Der Rechner meldet „Bitte gib eine Zahl ein, z. B. 2,5 oder -3,4.“ – Ursache: Ein Feld war leer oder enthielt Text. Fix: Trage alle drei Koeffizienten a, b und c ein.
- Symptom: Die Meldung „a darf nicht 0 sein.“ erscheint – Ursache: Der Koeffizient der Unbekannten war 0. Fix: Dann ist die Gleichung konstant; prüfe die Aufgabenstellung.
- Symptom: Das Ergebnis stimmt nicht mit deiner Rechnung überein – Ursache: Die Werte wurden den falschen Feldern zugeordnet. Fix: Prüfe die Zuordnung von a, b und c.
- Symptom: Vorzeichenfehler – Ursache: Ein Minuszeichen wurde übersehen. Fix: Achte darauf, dass du negative Koeffizienten mit eingibst.
- Symptom: Dezimalstellen führen zu Rundungsfehlern – Ursache: Die Anzeige rundet. Fix: Für exakte Weiterrechnung den Wert manuell nachschlagen.
Für wen sich der Gleichungs-Löser lohnt
Der Rechner ist für Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug, um lineare Gleichungen zu lösen und ihre Rechnungen zu kontrollieren. Auch Eltern, die bei den Hausaufgaben helfen, nutzen ihn. Im Berufsalltag kommt er bei Break-even-Analysen und bei der Bestimmung von Einzelpreisen vor. Studierende der Naturwissenschaften ziehen ihn heran, wenn sie Formeln nach einer Variablen auflösen. Auch zwei Unbekannte gleichzeitig sind mit dem 2×2-Modus kein Problem. Bei mehr Gleichungen setzt du die Koeffizienten als Matrix auf, was der Matrix-Rechner übernimmt, und die Determinanten rechnet der Determinanten-Rechner. Wenn du nur die Nullstelle einer Funktion suchst, ist der Nullstellen-Rechner der schnellere Weg.
Formeln & Werte geprüft: Oktober 2026. Steuer-, Zins- und andere zeitabhängige Sätze sind im Rechner editierbar – für verbindliche Berechnungen bitte den aktuell gültigen Wert eintragen.
Passende Tools
Mitternachtsformel-Rechner
Quadratische Gleichungen ax² + bx + c = 0 lösen – mit Diskriminante.
Zum Tool MathematikNullstellen-Rechner
Nullstellen linearer und quadratischer Funktionen bestimmen.
Zum Tool MathematikInterpolieren-Rechner
Linear interpolieren: Zwischenwert aus zwei bekannten Punkten.
Zum ToolHäufige Fragen
Wie löst man eine lineare Gleichung?
Durch Umstellen: den konstanten Term auf die andere Seite bringen und durch den Faktor vor x teilen. Aus 3x + 4 = 19 wird x = (19 − 4)/3 = 5.
Wie löst man ein Gleichungssystem?
Mit Einsetzen, Gleichsetzen, Additionsverfahren oder – wie hier – der Cramer-Regel über Determinanten. So erhält man x und y in einem Schritt.
Was ist die Cramer-Regel?
Ein Verfahren, das die Lösung eines linearen Gleichungssystems als Verhältnis von Determinanten angibt. Es funktioniert, solange die Hauptdeterminante nicht null ist.
Wann hat ein System keine eindeutige Lösung?
Wenn die Determinante der Koeffizienten null ist. Dann sind die Gleichungen entweder widersprüchlich (keine Lösung) oder abhängig (unendlich viele).
Kann der Rechner auch quadratische Gleichungen lösen?
Nein, er ist auf lineare Gleichungen und Systeme ausgelegt. Für quadratische Gleichungen nutze den Mitternachtsformel- oder pq-Formel-Rechner.
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