Binomialverteilung-Rechner
Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung aus Anzahl der Versuche n, Trefferwahrscheinlichkeit p und Trefferzahl k.
Die Binomialverteilung beschreibt die Zahl der Treffer in n unabhängigen Versuchen mit je gleicher Trefferwahrscheinlichkeit p. Die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer ist P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ. Erwartungswert ist n·p, Varianz n·p·(1−p).
So benutzt du den Binomialverteilung-Rechner
- Trage die Anzahl der Versuche n und die Trefferwahrscheinlichkeit p (als Dezimalzahl) ein.
- Gib die interessierende Trefferzahl k ein.
- P(X=k), P(X≤k), P(X≥k), Erwartungswert und Varianz erscheinen sofort.
Wie die Berechnung funktioniert
Für genau k Treffer multipliziert man die Zahl der möglichen Trefferpositionen – den Binomialkoeffizienten C(n,k) – mit der Wahrscheinlichkeit einer konkreten Trefferfolge pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ. Die kumulierten Wahrscheinlichkeiten P(X≤k) und P(X≥k) summiert der Rechner über die entsprechenden k-Werte.
P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ · E(X) = n·p · Var(X) = n·p·(1−p)
Rechenbeispiel
n = 10 Münzwürfe, p = 0,5, genau k = 4 Kopf: C(10,4)·0,5⁴·0,5⁶ = 210·0,5¹⁰ ≈ 0,205, also rund 20,5 %.
Der Erwartungswert liegt bei 10·0,5 = 5 Treffern.
Annahmen und Grenzen
- Die Versuche müssen unabhängig sein und je dieselbe Trefferwahrscheinlichkeit p haben.
- p liegt zwischen 0 und 1, k zwischen 0 und n.
- Bei sehr großem n kann die Rechengenauigkeit an Grenzen stoßen; dann nähert die Normalverteilung an.
Typische Aufgaben für die Binomialverteilung
Der Binomialverteilungs-Rechner berechnet die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer bei n Versuchen und einer Trefferwahrscheinlichkeit p. In der Qualitätssicherung prüfst du, wie wahrscheinlich es ist, dass eine Charge von 50 Stücken genau zwei defekte enthält, wenn die Fehlerquote bei 5 % liegt. In der Werbung schätzt du, wie viele von 100 Kunden tatsächlich auf einen Link klicken, wenn die Klickrate bei 2 % beträgt. In der Schule und im Studium wertest du Versuche mit Münzwürfen oder Würfeln aus – passende Zufallszahlen liefern der Würfel-Generator und der Zufallszahl-Generator. In der Medizin berechnest du die Wahrscheinlichkeit, dass eine Behandlung bei einer bestimmten Anzahl von Patienten wirkt. Und in der Probenerhebung bestimmst du, wie wahrscheinlich ein bestimmtes Stichprobenergebnis ist. Der Rechner zeigt die Einzelwerte und die kumulative Wahrscheinlichkeit an. Die Kombinationen n über k berechnet der Binomialkoeffizient-Rechner.
Mögliche Fehler und wie du sie behebst
- Symptom: Der Rechner meldet „Bitte gib eine Zahl ein, z. B. 2,5 oder -3,4.“ – Ursache: Ein Feld war leer oder enthielt Text. Fix: Trage n, k und p vollständig ein.
- Symptom: Die Meldung „p muss zwischen 0 und 1 liegen.“ erscheint – Ursache: Die Wahrscheinlichkeit wurde als Prozent eingegeben. Fix: Statt 5 für 5 % den Wert 0,05 verwenden.
- Symptom: k ist größer als n – Ursache: Mehr Treffer als Versuche sind unmöglich. Fix: Prüfe die Werte; die Wahrscheinlichkeit ist dann 0.
- Symptom: Negative Werte werden abgelehnt – Ursache: Ein Vorzeichen wurde eingegeben. Fix: Nur nicht-negative ganze Zahlen für n und k verwenden.
- Symptom: Die kumulative Wahrscheinlichkeit wirkt zu hoch – Ursache: Du liest die Summe bis k, nicht genau k. Fix: Beachte die Anzeige, die zwischen Einzel- und Summenwahrscheinlichkeit unterscheidet.
Für wen die Binomialverteilung geeignet ist
Der Rechner ist für Studierende der Statistik, Wirtschaftswissenschaften und Naturwissenschaften ein Standardwerkzeug, um Binomialverteilungen zu verstehen und Aufgaben zu kontrollieren. Auch Datenanalystinnen und Analysten nutzen ihn für Stichprobenplanung und Qualitätssicherung. Im Berufsalltag kommt er bei A/B-Tests, Werbewirkung und Fertigungsprüfungen vor. Der Rechner setzt voraus, dass die Versuche unabhängig sind und die Trefferwahrscheinlichkeit konstant bleibt. Wenn die Anzahl der Versuche sehr groß ist, ist die Normalverteilung eine gute Näherung, den passenden Z-Wert siehst du im Gauß-Verteilungs-Rechner. Für andere Verteilungen, etwa die Poisson-Verteilung, brauchst du einen eigenen Rechner.
Formeln & Werte geprüft: Oktober 2026. Steuer-, Zins- und andere zeitabhängige Sätze sind im Rechner editierbar – für verbindliche Berechnungen bitte den aktuell gültigen Wert eintragen.
Passende Tools
Durchschnitt-Rechner
Mittelwert, Median, Summe, Minimum und Maximum aus einer Zahlenliste.
Zum Tool MathematikZ-Wert-Rechner
Standardwert z = (x − μ) / σ berechnen – auch direkt aus einem Datensatz.
Zum Tool MathematikBinomialkoeffizient-Rechner
„n über k“ berechnen – die Anzahl der Kombinationen ohne Reihenfolge.
Zum ToolHäufige Fragen
Wie berechnet man die Binomialverteilung?
Mit P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ. Man multipliziert den Binomialkoeffizienten mit der Trefferwahrscheinlichkeit hoch k und der Gegenwahrscheinlichkeit hoch (n−k).
Wann verwendet man die Binomialverteilung?
Bei einer festen Zahl unabhängiger Versuche mit je zwei Ausgängen (Treffer/kein Treffer) und gleicher Trefferwahrscheinlichkeit – etwa Münzwürfe, Qualitätsprüfungen oder Umfragen.
Was ist der Erwartungswert der Binomialverteilung?
Er beträgt n·p, also die Zahl der Versuche mal der Trefferwahrscheinlichkeit. Bei 10 Würfen mit p = 0,5 erwartet man 5 Treffer.
Was bedeutet P(X≤k)?
Die Wahrscheinlichkeit, höchstens k Treffer zu erhalten – die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten von 0 bis k. Der Rechner gibt diesen kumulierten Wert mit aus.
Was ist ein Bernoulli-Experiment?
Ein einzelner Versuch mit genau zwei Ausgängen und fester Trefferwahrscheinlichkeit. Die Binomialverteilung zählt die Treffer über n solcher Bernoulli-Versuche.
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